ln2等于多少_ln2等于多少用e表示

=f，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h解：例题1图①当a=0时，由ψ'>0,解得x>/a。

 

一、恒成立有解问题例题1、设函数 f（x）= lnx , g（x）= ax + （a - 1）/ x - 3 （a ∈ R）（1）当 a = 2 时 ， 解关于 x 的方程 g（e^x）= 0 （其中 e 为自然对数的底数）；。

（2）求函数 ψ（x）= f（x）+ g（x）的单调区间 ；（3）当 a = 1 时 ， 记 h（x）= f（x）· g（x），是否存在整数 λ ，使得关于 x 的不等式 2λ ≥ h（x）有解？ 若存在 ，请求出 λ 的最小值 ；若不存在，请说明理由 。

（参考数据：ln2 ≈ 0.6931，ln3 ≈ 1.0986）解：

例题1图（1）故所求的方程的根为 x = 0 , 或 x = -ln2 。

例题1图（2）① 当 a = 0 时 ，由 ψ（x）> 0 , 解得 x > 0 ；② 当 a > 1 时 ，由 ψ（x）> 0 , 解得 x > (a-1)/a ；③ 当 0 < a 0 , 解得 x > 0 ；

④ 当 a = 1 时，由 ψ（x）> 0 , 解得 x > 0 ；⑤ 当 a 0 , 解得 0 < x < （a-1）/ a 综上所述：当 a < 0 时 ，ψ（x）的增区间为 （0，（a-1）/ a）；。

当 0 ≤ a ≤ 1 时，ψ（x）的增区间为 （0，+∞）；当 a > 1 时 ，ψ（x）的增区间为 （（a-1）/ a，+∞）（3）当 a = 1 时 ，g（x）= x - 3 , h（x）= （x - 3）lnx ,。

所以 h（x）= lnx + 1 - 3/x 单调递增 ， h（3/2）= ln(3/2) + 1 - 2 0 ,所以存在唯一 x0 ∈ （3/2 , 2）使得 h（

x0）= 0 ，即 lnx0 + 1 - 3/(x0) = 0 , 当 x ∈ （0 , x0）时，h（x） 0 , 所以

例题1图（3）记函数 r（x）= 6 - ( x + 9/x ) , 则 r（x）在 （3/2 , 2）上单调递增 ，所以 r（3/2）< h（x0）< r（2）, 即 h（x0）∈（-3/2 , -1/2），

由 2λ ≥ -3/2 ，且 λ 为整数 ， 得 λ ≥ 0 ，所以存在整数 λ 满足题意 ， 且 λ 的最小值为 0 注：本题旨在考查解一元二次方程，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），不等式恒成立问题，构造函数，运用函数的思想求解，考查运算和推理能力，难度较大 。

二、零点问题例题2、已知函数 f（x）= ax^2 - x - lnx , a∈ R （1）当 a = 3/8 时 ， 求函数 f（x）的最小值 ；（2）若 -1 ≤ a ≤ 0 , 证明 ：函数 f（x）有且只有一个零点 ；。

解：（1）当 a = 3/8 时 ，f（x）= ( 3/8) x^2 - x - lnx , 所以

例题2图（1）令 f （x）= 0 ， 得 x = 2 , 当 x∈（0 , 2）时 ， f （x） 0 ,所以函数 f（x）在 （0 , 2）上单调递减，在 （2 , +∞） 上单调递增 。

所以当 x = 2 时 ，f（x）有最小值 f（2）= -1/2 - ln2 。（2）

例题2图（2）函数 f（x）在 （0 ，+ ∞）上单调递减 ，所以当 a ≤ 0 时 ，函数 f（x）在 （0，+∞）上最多有一个零点 。

例题2图（3）所以当 -1 ≤ a ≤ 0 时 ， 函数 f（x）在 （0，+∞）上有零点 。综上 ， 当 -1 ≤ a ≤ 0 时 ，函数 f（x）有且只有一个零点 。